Ett ett trick del två.

Spoiler alert! Nedan presenteras lösningen på problemet vi började med i förra inlägget.

Nu har vi sovit på saken och är redo för att lösa kluringen som vi påbörjade i förra inlägget.

Det är ofta bra att räkna med lite numeriska exempel. Vi börjar med att försöka hitta ett exempel utan begränsning på n:
                                                           
                                                             .
Varför fungerar detta exempel?

                                 .

Faktorn 2 får vi automatiskt, faktorn 3 får vi då n-1 är udda,  faktorn 11 får vi eftersom n-1 = 5 ger oss 5 termer i den geometriska summan, vilken då summerar till 11.

Spännande, vi har faktorerna 2,3 och 11 att arbeta med. Låt oss försöka konstruera ett exempel till. Välj n = 66:

         

Vi har hittat ytterligare ett exempel. Dessvärre är 66 mindre än 100. När jag säger "Välj n = 66" föregås det givetvis av en del provande. Jag ser inte detta exempel per automatik. Nyckeln till att hitta ett slutgiltigt exempel är att använda samma teknik som tidigare:

                                           .

Alltså om n är delbart med 7 får vi faktorn 43 till vårt förfogande. Vi sammanfattar:
(i) Om n-1 är udda, kan vi använda ett ett trick.
(ii) Faktorn 2 och 3 har vi automatiskt.
(iii) Om n-1 är delbart med 5, får vi faktorn 11 att arbeta med.
(iv) Om n-1 är delbart med 7, får vi faktorn 43 att arbeta med.

Efter lite räknande ser vi att 946-1 = 2 x 11 x 43 - 1 = 5x7x27. En lösning är därför

                                                         .