Ett noll-trick del ett

Det verkar som att det är mänskligt att längta efter frihet. Frihet att leva som den man verkligen är. Förra veckan återberättade jag en anekdot jag läst om matematikern Paul Erdös. Det sägs om honom att alla hans materiella tillgångar fick plats i två stycken påsar han bar omkring på. I den ena skulle det ha funnits en radio och i den andra papper och böcker om matematik. Hans viktigaste tillgång måste dock ha varit hans extraordinära matematiska förmåga. Denna förmåga gjorde att han kunde resa och hälsa på andra matematiker världen över, som tog emot honom med öppna armar. Med Erdös i sitt hem skulle det garanterat bli mycket matematik gjort. Jag tänker att Erdös var en fri människa i det att han dagligen gjorde precis det han ville allra mest i livet. Man kanske skall vara försiktig med att extrapolera sina egna känslor till andra människor. Men jag själv känner mig fri när jag gör saker som får mig att känna mig som mig själv. När Paul Erdös stod utanför ens dörr för att besöka en skall han ha sagt "My brain is open!" Det vill säga, nu är det dags att jobba med en kluring.

Följande kluring gavs vid Ryska matematiska olympiaden 1997 och påminner mycket om den vi arbetade med nu senast.

Notera att detta är ett om och endast om påstående vi börjar i ena änden.



Här är a något positivt heltal. Vi får

Puh! I första likheten använder vi geometrisk summa för att uttrycka vänsterledet som en summa av n stycken termer. Sedan grupperar vi dessa inom parenteser som innehåller vardera m termer. Detta går eftersom m delar n. Slutligen använder vi geometrisk summa igen för att skriva produkten efter sista likhetstecknet. Vi har visat att

                                                     

För att vara klara behöver vi ytterligare en faktor . Denna skall vi klura fram snart. För att göra detta skall vi använda ett så kallat "noll - trick". Det innefattar den rudimentära observationen att b +0 = b, för alla tal b. Speciellt skall vi använda att 1-1 = 0. Det vill säga b + 1-1 = b för alla tal b. Men vi sover på saken först.

Kan du fortsätta med beviset?