Ett noll-trick del två

Spoiler alert! Nedan kommer vi att lösa kluringen från förra inlägget. 

I förra inlägget visade vi på en faktor  i uttrycket  . Vi skall nu hitta en faktor till och på så vis vara klara med beviset i ena riktningen. Vi hade speciellt att

                       

Låt oss till varje term  addera 0 = 1 - 1:

                     .

Eftersom vi har n/m -1 +1 termer har vi adderat 0 n/m gånger vilket enligt antagandet är en multipel av . Varje term ger med "noll-tricket" en multipel av  och en term 1. Vi har nu hittat ytterligare en term  och är klara med ena riktningen. Efter en stunds tänkande kommer vi fram till att varje steg är ekvivalent med det föregående och har således även andra riktningen av beviset. Puh!

Ett noll-trick del ett

Det verkar som att det är mänskligt att längta efter frihet. Frihet att leva som den man verkligen är. Förra veckan återberättade jag en anekdot jag läst om matematikern Paul Erdös. Det sägs om honom att alla hans materiella tillgångar fick plats i två stycken påsar han bar omkring på. I den ena skulle det ha funnits en radio och i den andra papper och böcker om matematik. Hans viktigaste tillgång måste dock ha varit hans extraordinära matematiska förmåga. Denna förmåga gjorde att han kunde resa och hälsa på andra matematiker världen över, som tog emot honom med öppna armar. Med Erdös i sitt hem skulle det garanterat bli mycket matematik gjort. Jag tänker att Erdös var en fri människa i det att han dagligen gjorde precis det han ville allra mest i livet. Man kanske skall vara försiktig med att extrapolera sina egna känslor till andra människor. Men jag själv känner mig fri när jag gör saker som får mig att känna mig som mig själv. När Paul Erdös stod utanför ens dörr för att besöka en skall han ha sagt "My brain is open!" Det vill säga, nu är det dags att jobba med en kluring.

Följande kluring gavs vid Ryska matematiska olympiaden 1997 och påminner mycket om den vi arbetade med nu senast.

Notera att detta är ett om och endast om påstående vi börjar i ena änden.



Här är a något positivt heltal. Vi får

Puh! I första likheten använder vi geometrisk summa för att uttrycka vänsterledet som en summa av n stycken termer. Sedan grupperar vi dessa inom parenteser som innehåller vardera m termer. Detta går eftersom m delar n. Slutligen använder vi geometrisk summa igen för att skriva produkten efter sista likhetstecknet. Vi har visat att

                                                     

För att vara klara behöver vi ytterligare en faktor . Denna skall vi klura fram snart. För att göra detta skall vi använda ett så kallat "noll - trick". Det innefattar den rudimentära observationen att b +0 = b, för alla tal b. Speciellt skall vi använda att 1-1 = 0. Det vill säga b + 1-1 = b för alla tal b. Men vi sover på saken först.

Kan du fortsätta med beviset?

Ett ett trick del två.

Spoiler alert! Nedan presenteras lösningen på problemet vi började med i förra inlägget.

Nu har vi sovit på saken och är redo för att lösa kluringen som vi påbörjade i förra inlägget.

Det är ofta bra att räkna med lite numeriska exempel. Vi börjar med att försöka hitta ett exempel utan begränsning på n:
                                                           
                                                             .
Varför fungerar detta exempel?

                                 .

Faktorn 2 får vi automatiskt, faktorn 3 får vi då n-1 är udda,  faktorn 11 får vi eftersom n-1 = 5 ger oss 5 termer i den geometriska summan, vilken då summerar till 11.

Spännande, vi har faktorerna 2,3 och 11 att arbeta med. Låt oss försöka konstruera ett exempel till. Välj n = 66:

         

Vi har hittat ytterligare ett exempel. Dessvärre är 66 mindre än 100. När jag säger "Välj n = 66" föregås det givetvis av en del provande. Jag ser inte detta exempel per automatik. Nyckeln till att hitta ett slutgiltigt exempel är att använda samma teknik som tidigare:

                                           .

Alltså om n är delbart med 7 får vi faktorn 43 till vårt förfogande. Vi sammanfattar:
(i) Om n-1 är udda, kan vi använda ett ett trick.
(ii) Faktorn 2 och 3 har vi automatiskt.
(iii) Om n-1 är delbart med 5, får vi faktorn 11 att arbeta med.
(iv) Om n-1 är delbart med 7, får vi faktorn 43 att arbeta med.

Efter lite räknande ser vi att 946-1 = 2 x 11 x 43 - 1 = 5x7x27. En lösning är därför

                                                         .

Ett ett trick, del ett.

Genom historien har det funnits många miljarder människor på vår jord. Många levnadsöden faller i glömska, men om en del människors liv berättas det mytomspunnet  åtskilliga år efter deras bortgång.

Paul Erdös var en ungersk matematiker av högsta kaliber. Många är historierna om honom. Vid ett tillfälle skulle Erdös ha suttit ner och klurat på ett matematiskt problem tillsammans med ett barn. Erdös hällde upp kaffe åt sig själv och barnet, varvid barnets moder blev förfärad. Erdös sade lugnt:

"Om vi skall göra vad matematiker gör, måste vi dricka vad matematiker dricker". 

Paul Erdös drack tydligen mycket kaffe.

Låt oss ta en kopp och lösa en kluring:

                        

Denna kluring gavs vid 1997 Asian Pacific Mathematics Olympiad. För att lösa detta problem tänker jag mig att vi använder oss av ett så kallat "ett trick". I detta fall utnyttjar vi att

                                                               

Antag först att heltalet n är ett jämt tal. Vi räknar lite:

                                   .

Nu drar vi oss till minnes formeln för geometrisk summa:
                                     .
Vi får
                            .

Vi pausar fyller på kaffet och tar det lite lugnt. Detta problem gavs vid en tävling i matematik och förmodligen gavs 5 timmar till godo för att lösa detta och några andra problem. Vi har inte bråttom, så när kaffet är påfyllt funderar vi lite på annat och låter tankarna på detta problem få mogna lite i bakhuvudet.

Kan du lösa kluringen, kanske med hjälp av ovan diskussion?